希尔伯特曲线 希尔伯特曲线的简介

一、希尔伯特曲线是一种奇妙的曲线，它可以填充整个平面的正方形。曲线的构造是通过将一个正方形分割成9个小正方形，然后连接每个小正方形的中心点。这个过程可以一直重复下去，最终得到一个连续且覆盖整个平面的曲线。

二、希尔伯特曲线由希尔伯特在1891年提出。它是一种分形曲线，也被称为空间填充曲线。希尔伯特曲线的豪斯多夫维数是2，它的长度可以表示为2n-2-n，其中n表示步数。

三、希尔伯特曲线可以通过L系统的记法进行描述。L系统的变量有L和R，常数有F、+和-。希尔伯特曲线的公理是L，规则是L→+RF-LFL-FR+和R→−LF+RFR+FL−。在这个系统中，F表示向前移动，-表示右转90°，+表示左转90°。

四、希尔伯特曲线的构造挑战了传统意义上对维数的认识。传统上，一维的东西不可能填满二维的方格，但皮亚诺曲线说明了我们对维数的定义有缺陷。分形几何的引入使我们可以使用分数作为维数的概念，称之为分维。

五、希尔伯特曲线是连续的但处处不可导的曲线。为了研究传统意义上的可导曲线，我们需要加上可导的条件，以排除像皮亚诺曲线这样的特例。

六、希尔伯特曲线并没有覆盖整个平面。这可以通过对希尔伯特曲线与中位线的交点进行分析来证明。如果希尔伯特曲线与中位线的交点覆盖了整条中位线，那么交点应该覆盖了整个[0,1]区间。然而，由于交点数量与实数的不可数性相矛盾，希尔伯特曲线并没有覆盖整个平面。

七、在希尔伯特曲线中使用了编码映射的方法来建立一种从曲线到平面的一一映射。然而，这种映射在数学上存在问题，因为它忽略了极限的概念，而仅仅关注基本序列中的元素。因此，希尔伯特曲线并不能完成从平面到曲线的一一映射。

八、康托提出了从一维到二维的一一映射的方法。他利用实数的分数部分构造了一个序列，从而将一维的实数映射到二维空间中的一个点。这种映射是可行的，但仅仅适用于有理数，对于无理数则存在问题。

九、综上所述，希尔伯特曲线是一种奇特的曲线，能填满平面的正方形。它挑战了传统的维数定义，同时也涉及到实数定义中的一些问题。虽然希尔伯特曲线具有引人入胜的特点，但其从一维到二维的映射仍然存在待解决的问题。